Question

Usando aplicações de derivada resolva:
"Custa para uma empresa $c$ dólares manufaturar e distribuir cada mochila. Se as mochilas são vendidas a  dólares $x$ dólares cada, o número de unidades vendidas é dado por $n = a/(x-c) + b(100 -x)$ onde a e b são constantes positivas. Qual preço de venda trará lucro máximo?"

help me =)

Answer 1

Olá, Adam.

Receita =  $nx$

Custo =  $nc$

Lucro = Receita - Custo =  $nx-nc=n(x-c)$

Portanto, o Lucro L(x) é dado por:

$L(x)=n(x-c)=[\frac{a}{x-c}+b(100-x)](x-c)=\\\\=a+(100b-bx)(x-c)=\\\\ =a+100bx-100bc-bx^2+bcx=\\\\ =a-100bc+b(100+c)x-bx^2$

A função L(x) é uma parábola com a concavidade voltada para baixo uma vez que o termo que acompanha x² é negativo (igual a -b).

Portanto, no ponto onde a derivada de L(x) se anula, o lucro é máximo.

Assim:

$\frac{dL}{dx}=0 \Leftrightarrow b(100+c)-2bx=0 \Leftrightarrow 2bx=b(100+c) \Leftrightarrow \\\\ 2x=100+c \Leftrightarrow x=\frac12(100+c) \Leftrightarrow \boxed{x=50+\frac{c}2}$

Este valor de x que anula a derivada de L(x) é, portanto, o preço que maximiza o lucro.