Question

escreva uma equação do 2 Grau cujas raízes sejam: 1+2i e 1-2i

Answer 1

a) Primeiro vamos determinar a soma das raízes:

1+2i + 1-2i = 2

b) Agora vamos determinar o produto das raízes:

(1+2i)(1-2i) = 1 + 4 = 5

c) Agora podemos escrever uma equação usando a fórmula:

x² - Sx + P = 0

x^2 - 2x + 5 = 0

Answer 2

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que a equação do segundo grau - equação quadrática - procurada é:

   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf eq:x^{2} - 2x + 5 = 0\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam as raízes:

                  $\Large\begin{cases}x' = 1 + 2i\\x'' = 1 - 2i \end{cases}$

Observe que as raízes são complexas. Porém, sabemos que para montar uma equação do segundo grau a partir de suas raízes devemos utilizar a seguinte fórmula:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - x')\cdot(x - x'') = 0\end{gathered}$

Substituindo as raízes na referida equação, temos:  

   $\Large\displaystyle\begin{gathered} \left[x - (1 + 2i)\right]\cdot\left[x - (1 - 2i)\right] = 0\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \left[x - 1 - 2i\right]\cdot\left[x - 1 + 2i\right] = 0\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} -x -2xi - x + 2i + 1 + 2xi - 2i - 4i^{2}= 0\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - 2x + 1 - 4i^{2}= 0\end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - 2x + 1 - 4\cdot(-1)= 0\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - 2x + 1 + 4= 0\end{gathered}$

                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - 2x + 5= 0\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação procurada é:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} eq:x^{2} - 2x + 5 = 0\end{gathered}$

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