Question

a solução da equação 4^x +6^x =9^x é ?
dou 1 real pra quem responder kk

Answer 1

Resposta

$log\frac{2}{3}\frac{(-1+\sqrt{5}) }{2}$

Explicação passo-a-passo:

$4^{x} + 6^{x} = 9^{x}$

Agora, sendo uma equação como uma balança, podemos dividir todos os termos por um valor em comum. No caso, escolhi o 9^x

$\frac{4^{x}}{9^{x}} + \frac{6^{x}}{9^{x}} = \frac{9^{x}}{9^{x}} \\\\(\frac{4}{9})^{x} + (\frac{6}{9})^{x} = 1$

Então, irei utilizar de uma incógnita auxiliar para facilitar a solução desta equação. Irei considerar $(\frac{2}{3})^x = y$ , então, temos que:

$([\frac{2}{3}]^x)^{2} + y = 1\\y^{2} + y = 1\\y^{2} + y - 1 = 0$

Resolvendo a equação do segundo grau temos 2 raízes:

a1 = $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

a2 = $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$, contudo, esta raízes é negativa e como lá em cima consideramos (2/3)^x = y e y, sendo o resultado de uma potência, jamais pode ser negativo, logo, esta raíz não nos interessa. Portanto:

$(\frac{2}{3})^x = \frac{-1 + \sqrt{5} }{2} =\\\\= log\frac{2}{3} (\frac{-1 + \sqrt{5} }{2}) = x$

Answer 2

Oie, Td Bom?!

$4 {}^{x} + 6 {}^{x} = 9 {}^{x}$

$4 {}^{x} + 6 {}^{x} - 9 {}^{x} = 0$

$2 {}^{2x} + (2 \: . \: 3) {}^{x} - 3 {}^{2x} = 0$

$2 {}^{2x} + 2 {}^{x} \: . \: 3 {}^{x} - 3 {}^{2x} = 0$

• Divida ambo os membros da equação $3 {}^{2x}$ .

$( \frac{2}{3} ) {}^{2x} + ( \frac{2}{3} ) {}^{x} - 1 = 0$

• Reescreva a expressão usando $a {}^{mn} = (a {}^{n} ) {}^{m}$ .

$(( \frac{2}{3} ) {}^{x} ) {}^{2} + ( \frac{2}{3} ) {}^{x} - 1 = 0$

• Substitua $( \frac{2}{3} ) {}^{x} = t$ .

$t {}^{2} + t - 1 = 0$

• Coeficientes:

$a = 1 \:, \: b = 1 \: ,\: c = - 1$

• Fórmula resolutiva:

$x = \frac{ - b± \sqrt{b {}^{2} - 4ac } }{2a}$

$t = \frac{ - 1± \sqrt{1 {}^{2} - 4 \: . \: 1 \: . \: ( - 1)} }{2 \: . \: 1}$

$t = \frac{ - 1± \sqrt{1 + 4} }{2}$

$t = \frac{ - 1± \sqrt{5} }{2}$

$⇒t = \frac{ - 1 + \sqrt{5} }{2}$

$⇒t = \frac{ - 1 - \sqrt{5} }{2}$

• Substitua $t = ( \frac{2}{3} ) {}^{x}$ .

• $( \frac{2}{3} ) {}^{x} = \frac{ - 1 + \sqrt{5} }{2} ⇒ log_{ \frac{2}{3} }(( \frac{2}{3} ) {}^{x} ) = log_{ \frac{2}{3} }( \frac{ - 1 + \sqrt{5} }{2} ) ⇒x = log_{ \frac{2}{3} }( \frac{ - 1 + \sqrt{5} }{2} )$

• $( \frac{2}{3 } ) {}^{x} = \frac{ - 1 - \sqrt{5} }{2} ⇒x∉\mathbb{R}$

$S = \left \{ log_{ \frac{2}{3} }( \frac{ - 1 + \sqrt{5} }{2} ) \right \}$

Att. Makaveli1996