Question

Como se resolve detalhadamente essa integral indefinida:
 
∫ 2x³(x^4 + 2)^7dx  

A resposta será: (x^4 +2)^8/16 + C , porém não estou conseguindo chegar nele.

Answer 1

$\int\ {2 x^{3} ( x^{4}+2 )^{7} } \, dx$

Para resolver deveremos utilizar o método da substituição.

$u = x^{4} + 2$
$du = 4 x^{3} dx$

Olhando para a integral, precisamos achar algo para igualar a du, mas temos apenas $2 x^{3} dx$. Então, vamos "criar" essa multiplicação dentro da integral:

$\int\ {2. 2 x^{3} ( x^{4}+2 )^{7} } \, dx$ = $\int\ {4 x^{3} ( x^{4}+2 )^{7} } \, dx$

fazemos isso para poder aparecer 4x³ dx, e assim, substituir isso por du. Nada pode ser ignorado. Como multiplicamos por 2 dentro da integral, para equilibrar, vamos dividir por 2 fora da integral, veja:

$\frac{1}{2} \int\ {4 x^{3} ( x^{4}+2 )^{7} } \, dx$

Agora podemos substituir u e du:

$\frac{1}{2} \int\ {4 x^{3} ( x^{4}+2 )^{7} } \, dx =\frac{1}{2} \int\ { u^{7} } \, du$

Muito  fácil de integrar agora, veja:

$\frac{1}{2} \int\ { u^{7} } \, du = \frac{1}{2} . \frac{ u^{8} }{8} = \frac{ u^{8} }{16} + C$

Agora, basta substituir $u = x^{4} + 2$

$\frac{ u^{8} }{16} + C = \frac{ ( x^{4} + 2 )^{8} }{16} + C$

Tentei explicar o máximo possível..