Question

Os pontos médios dos lados de um quadrado com 20 cm de lado são vértices de um segundo quadrado. Os pontos médios dos lados desse segundo quadrado são vértices de um terceiro quadrado e assim sucessivamente até o 15º quadrado. Qual é a medida do lado do 15º quadrado?????????????????????????????????????????????????????????????//

Answer 1

Observe a imagem em anexo para compreender melhor.

O ponto médio de um lado do quadrado é o ponto que divide esse lado em duas partes iguais.

Como o lado do primeiro quadrado mede 20 cm, então o vértice do segundo quadrado dividirá esse lado em duas partes de 10 cm.

Assim, o lado do segundo quadrado terá a medida da hipotenusa do triângulo retângulo cujos catetos terão 10 cm cada um.

De forma similar, o lado do terceiro quadrado terá a medida da hipotenusa do triângulo retângulo cujos catetos terão a metade das medidas do lado do segundo quadrado.

O que temos que fazer então é calcular a medida das hipotenusas desses triângulos formados pelos vértices desses quadrados.

Assim, usando o Teorema de Pitágoras, o lado do segundo quadrado medirá:

$a^{2} = b^{2} + c^{2}\\ \\ a^{2} = 10^{2} + 10^{2}\\ \\ a^{2} = 100 + 100\\ \\ a^{2} = 200\\ \\ a = \sqrt{200}\Rightarrow a = \sqrt{10^{2}\cdot 2}\Rightarrow a = 10\sqrt{2}$

Como o lado do segundo quadrado mede 10√2 cm, então o vértice do terceiro quadrado dividirá esse lado em duas partes iguais de:

$\dfrac{10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}$

Assim, usando o Teorema de Pitágoras, o lado do terceiro quadrado medirá:

$a^{2} = b^{2} + c^{2}\\ \\ a^{2} = \left(5\sqrt{2}\right)^{2} + \left(5\sqrt{2}\right)^{2}\\ \\ a^{2} = (25\cdot 2)+(25\cdot 2)\\ \\ a^{2} = 50+50\\ \\ a^{2}=100\\ \\ a = \sqrt{100}\Rightarrow a = 10$

Dessa forma, temos:
Lado primeiro quadrado = 20 cm
Lado do segundo quadrado = 10√2 cm
Lado do terceiro quadrado = 10 cm

Portanto as medidas dos lados formam a PG (20, 10√2, 10, ...).

Primeiramente, vamos achar a razão q da PG.

A razão q da PG é obtida dividindo um termo qualquer pelo termo imediatamente anterior.

Assim podemos dividir o segundo termo pelo primeiro ou o terceiro pelo segundo e obteremos o valor da razão q.

Vamos dividir o segundo pelo primeiro:

$q = \dfrac{10\sqrt{2}}{20}}\Rightarrow q=\dfrac{\not 10\sqrt{2}}{\not 20}}\Rightarrow q=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$

Portanto, a razão da PG é q = √2/2.

Pra facilitar os cálculos vamos mudar a razão para forma de potência:

$q=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\Rightarrow q=\dfrac{2^\frac{1}{2}}{2}} \Rightarrow q=2^{\frac{1}{2}-1} \Rightarrow q=2^{\frac{1-2}{2}}\Rightarrow q=2^{\frac{-1}{2}}$


Vamos calcular a medida do lado do 15º quadrado, ou seja, do 15º termo da PG, usando a fórmula do Termo Geral da PG:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}\\ \\ \\ a_{15}=20\cdot \left(2^{\frac{-1}{2}}\right)^{15-1}\\ \\ \\ a_{15}=20\cdot \left(2^{\frac{-1}{2}}\right)^{14}\\ \\ \\ a_{15}=20\cdot 2^{\frac{-14}{2}}\\ \\ \\ a_{15}=20\cdot 2^{-7}\\ \\ \\ a_{15}=20\cdot \dfrac{1}{2^{7}}\\ \\ \\ a_{15}=\dfrac{20}{128}\Rightarrow a_{15}\approx 0,156$

Logo, o lado do 15º quadrado medirá aproximadamente 0,156 cm ou 0,16 cm.


Obs.: Se achar mais fácil não precisa  mudar a razão q para forma de expoente. Ficando assim:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}\\ \\ \\ a_{15}=20\cdot \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\right)^{15-1}\\ \\ \\ a_{15}=20\cdot \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\right)^{14}\\ \\ \\ a_{15}=20\cdot \left(\dfrac{\sqrt{2^{14}}}{2^{14}}}\right)\\ \\ \\ a_{15}=20\cdot \left(\dfrac{\sqrt[2\div 2]{2^{14\div 2}}}{2^{14}}}\right)\\ \\ \\ a_{15}=20\cdot \left(\dfrac{2^{7}}{2^{14}}\right)$

$a_{15}=20\cdot 2^{7-14}\\ \\ \\ a_{15}=20\cdot 2^{-7}\\ \\ \\ a_{15}=20\cdot \dfrac{1}{2^{7}}\\ \\ \\ a_{15}=\dfrac{20}{128}\Rightarrow a_{15}\approx 0,156$