Question

A representação gráfica do conjunto solução de $\Big( \ x^2 \ - \ 2x \ - \ 3 \Big) . \Big( \ 2y \ - \ 8 \ \Big) \ \geq \ 0$ no plano cartesiano ortogonal é melhor representada por :

Answer 1

Vou resolver da foto
(x² - 2x - 3)(-2y - 8) ≥ 0
1) Se x² - 2x - 3 > 0 , podemos dividir os dois membros da inequação por
x² - 2x -3 mantendo o sentido da desigualdade.

x² - 2x - 3 = 0
Δ = 4 - 4.1(-3) = 16
x = (2 - 4)/2 = -1 ou x = (2 + 4)/2 = 3

----------------------- - 1--------------------3---------------------
                   +                      -                      +
 
 Para x < -1 ou x > 3 , temos
-2y - 8 ≥ 0 => -2y ≥ 8 => 2y ≤ -8 => y =< -4

2) Se x² - 2x - 3 < 0, também podemos dividir os dois membros por x² - 2x - 3, invertendo o sentido da desigualdade.
Veja acima que x² - 2x -3 < 0 , para -1 < x < 3

Para -1 < x < 3 => -2y - 8 ≤ 0 => -2y ≤ 8 => 2y ≥ - 8 => y ≥ -4

Observando essas soluções, conclui-se que é letra C
 
                    

Answer 2

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Representação gráfica do conjunto solução da inequação

$(x^2-2x-3)\cdot (-2y-8)\ge 0$


Para que este produto seja um número não-negativo, necessariamente

$x^2-2x-3=0;$ ou 

$-2y-8=0;$ ou

$x^2-2x-3$  e  $-2y-8$  têm o mesmo sinal.


Então, basta que os pontos satisfaçam pelo menos um dos casos abaixo:


•   Caso 1:   $x^2-2x-3=0:$

$x^2+x-3x-3=0\\\\ x(x+1)x-3(x+1)=0\\\\ (x+1)(x-3)=0\\\\ \begin{array}{rcl} x+1=0&~\textrm{ ou }~&x-3=0\\\\ x=-1&~\textrm{ ou }~&x=3\qquad\quad\checkmark \end{array}$


O lugar geométrico que representa este caso é a união de todos os pontos cujas abscissas são $-1$ ou $3$  (duas retas verticais):

$C_1=\left\{(-1,\,y):~y\in \mathbb{R}\}\cup\{(3,\,y):~y\in \mathbb{R}\right\}$

__________


•   Caso 2:   $-2y-8=0:$

$-2y=8\\\\ y=\dfrac{8}{-2}\\\\\\ y=-4\qquad\quad\checkmark$


O lugar geométrico que representa este caso é a união de todos os pontos cujas ordenadas são iguais a $-4$   (reta horizontal):

$C_2=\left\{(x,\,-4):~x\in\mathbb{R}\right\}$

__________


•   Caso 3:   $x^2-2x-3>0~~\textrm{ e }~~-2y-8>0:$

$\begin{array}{rcl} (x+1)(x-3)>0&~\textrm{ e }~&-2y>8\\\\ (x<-1~\textrm{ ou }~x>3)&~\textrm{ e }~&y<\dfrac{8}{-2}\\\\\\ (x<-1~\textrm{ ou }~x>3)&~\textrm{ e }~&y<-4\qquad\quad\checkmark \end{array}$


O lugar geométrico que representa este caso é a união de todos os pontos do plano que estão

na faixa à esquerda da reta $x=-1$  ou  à direita da reta $x=3;$

e também abaixo da reta $y=-4:$


$C_3=\left\{(x,\,y)\in\mathbb{R}^2:~~(x<-1~\textrm{ ou }~x>3)~~\textrm{e}~~y<-4\right\}$

__________


•   Caso 4:   $x^2-2x-3<0~~\textrm{ e }~~-2y-8<0:$

$\begin{array}{rcl} (x+1)(x-3)<0&~\textrm{ e }~&-2y>8\\\\ -1<x<3&~\textrm{ e }~&y>\dfrac{8}{-2}\\\\ -1<x<3&~\textrm{ e }~&y>-4\qquad\quad\checkmark \end{array}$


O lugar geométrico que representa este caso é a união de todos os pontos do plano que estão

na faixa entre as retas $x=-1$ e $x=3;$


e também acima da reta $y=-4:$

$C_4=\left\{(x,\,y)\in\mathbb{R}^2:~~-1<x<3~~\textrm{e}~~y>-4\right\}$

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Por fim, o lugar geométrico procurado é obtido fazendo a união dos pontos encontrados para cada caso.

$C=C_1\cup C_2\cup C_3\cup C_4$


A representação do $\mathrm{C}$ segue em anexo.


Resposta: alternativa C).


Bons estudos! :-)