Question

A Figura mostra uma sala que tem a forma de triângulo retângulo e que passará por uma reforma. Um dos lados da sala mede 3 metros. O arquiteto deslocará para frente a parede indicada, paralelamente à parede original, de modo a obter uma nova sala cuja área corresponda a 4 vezes a área da anterior. A nova sala terá a forma de um triângulo retângulo, semelhante ao da sala original. Em quantos metros a parede indicada deve ser deslocada para frente?

Answer 1

 Olá Alisson!

 Pensei no seguinte:

Medida a ser encontrada: x
Medida da parede a ser deslocada: y
Medida da parede depois do deslocamento: z
Área inicial: S_i
Área final: S_f

 Por semelhança,

$\displaystyle \mathbf{\frac{x + 3}{3} = \frac{z}{3}}$

 Do enunciado,

$\mathbf{S_f = 4 \cdot S_i}$

 
 Isto posto, calculamos a área da sala, inicialmente:

$\\ \displaystyle \mathrm{S_i = \frac{3 \cdot y}{2}} \\\\ \mathrm{S_i = \frac{3y}{2}}$

 Por conseguinte, calculamos a área depois da reforma...

$\\ \displaystyle \mathrm{S_f = \frac{(x + 3) \cdot z}{2}} \\\\\\ \mathrm{4 \cdot S_i = (x + 3) \cdot \frac{z}{2}} \\\\\\ \mathrm{4 \cdot \frac{3y}{2} = \frac{3z}{y} \cdot \frac{z}{2}} \\\\\\ \mathrm{4 \cdot \frac{y}{1} = \frac{z}{y} \cdot \frac{z}{1}} \\\\ \mathrm{z^2 = 4y^2} \\\\ \mathrm{z = 2y}$

 Por fim,

$\\ \displaystyle \mathrm{\frac{x + 3}{3} = \frac{z}{y}} \\\\\\ \mathrm{\frac{x + 3}{3} = \frac{2y}{y}} \\\\\\ \mathrm{\frac{x + 3}{3} = \frac{2}{1}} \\\\ \mathrm{x + 3 = 3 \cdot 2} \\\\ \mathrm{x + 3 = 6} \\\\ \boxed{\mathbf{x = 3}}$