Question

O conjunto solução da equação 〖log〗_5⁡〖(2x+8)〗- 2〖log〗_5⁡〖x=0〗 é:

Answer 1

$\log_5(2x+8)-2\log_5x=0$
para:
$\displaystyle \log_5(2x+8)-2\log_5(x)=0\\\\\log_5(2x+8)=2\log_5(x)$
Teremos:
$2\log_5x=\log_5x^2$

levando em consideração que:
$\log_a(f(x))=\log_a(g(x))$
é a mesma coisa que:
$f(x)=g(x)$
Então:
$\displaystyle \log_5(2x+8)=\log_5x^2\\\\i)~~2x+8=x^2\implies x^2-2x-8=0\\\\ii)~~X=\frac{2\pm\sqrt{36}}{2}= \left \{ {{x'=\frac{2+6}{2}=4} \atop {x''=\frac{2-6}{2}=-2}} \right.$
Não podemos usar x'' pois:
$\log_a(-b)~\nexists$ (Não existe logaritmando com base menor ou igual a zero)
pois: 
$x^{y} \geq 1$
logo a solução da equação logaritmica é:
$S=\{4\}$
verificando:
$\log_5(2x+8)-2\log_5(x)=0\implies \log_5(4+8)-2\log_5(4)\\\log_516-2\log_54=1.72272...-2(0.86131...)=1.72272...-1.72272...\\=0$
as regras do log deixam isso visível também:
$a\log_bc=\log_bc^a$
que faz:
$\log_516-2\log_54=\log_516-\log_54^2=\log_516-\log_516=0$
:)