Question

Calcule o número complexo i^126 + i^-126 + i^31 - i^180
Eu, sei tem que substituir e tals, e não tenho dúvidas quanto aos números positivos... mas... e os negativos? o que deve-se fazer de diferente?
lembrando:
i^0 = 1
i^1 = i
i^2 = -i
1^3 = -i
...

Answer 1

Só lembras as regras de potenciação que você resolve facilmente, até com expoentes negativos

$\boxed{a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}}$

Existe um método pra simplificar potências de i com expoentes altos: Dividimos o expoente por 4, e o resto da divisão será o novo expoente de i

Exemplo: $i^{200}$

200 ÷ 4 = 50 + 0 de resto

$i^{200}=i^{0}=1$
________________________________

$i^{126}+i^{-126}+i^{31}-i^{180}=i^{126}+\dfrac{1}{i^{126}}+i^{31}+i^{180}$

Agora vamos simplificar as potências de i:

126 ÷ 4 = 31 + 2 de resto
31 ÷ 4 = 7 + 3 de resto
180 ÷ 4 = 45 + 0 de resto

$i^{126}+i^{-126}+i^{31}-i^{180}=i^{2}+\dfrac{1}{i^{2}}+i^{3}-i^{0}\\\\\\i^{126}+i^{-126}+i^{31}-i^{180}=-1+\dfrac{1}{-1}+(-i)-1\\\\\\i^{126}+i^{-126}+i^{31}-i^{180}=-1-1-i-1\\\\\\\boxed{\boxed{i^{126}+i^{-126}+i^{31}-i^{180}=-3-i}}$