Question

Como resolver uma equação ou inequação desse tipo? [/tex] $\frac{1}{x+1} \geq \frac{3}{x-2}$

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Isabela, que a resolução é simples.
Pede-se para resolver a seguinte inequação:

1/(x+1) ≥ 3/(x-2) ------ com x ≠ -1 e x ≠ 2 ---- (note que esta exigência de "x" ser diferente de "-1" e diferente de "2" foi colocado por nós, pois se "x" pudesse ser igual a "-1" ou igual a "2" iríamos ter divisão por zero e isto não existe. Por isso é que colocamos essas duas condições de existência da inequação dada, ok?).
Bem, visto isso, vamos trabalhar com a inequação da sua questão, que é esta:

1/(x+1) ≥ 3/(x-2) ---- vamos passar todo o 2º membro da desigualdade para o primeiro, com o que ficaremos assim:

1/(x+1) - 3/(x-2) ≥ 0

Veja que o mmc entre (x+1) e (x-2) = (x+1)*(x-2). Assim, utilizando-o, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):

[(x-2)*1 - (x+1)*3]/[(x+1)*(x-2)] ≥ 0 ----- desenvolvendo, teremos:
[(x-2) - (3x+3)]/[(x+1)*(x-2)] ≥ 0 ---- retirando-se os parênteses do denominador, teremos:

[x-2 - 3x - 3]/[(x+1)*(x-2)] ≥ 0
[- 2x - 5]/[(x+1)*(x-2)] ≥ 0 ---- efetuando o produto no denominador, temos;
[-2x - 5]/[(x² - x - 2] ≥ 0 ---- ou apenas, o que é a mesma coisa:
(-2x - 5)/(x²-x-2) ≥ 0

Agora veja que ficamos com uma inequação-quociente constituída por uma função do 1º grau no numerador (f(x) = -2x-5), e uma equação do 2º grau no denominador (g(x) = x²-x-2).
Vamos fazer o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações. Depois, em função de suas raízes, analisaremos a variação de sinais de cada uma delas. E, finalmente, encontraremos qual o conjunto-solução da inequação  dada [1/(x+1) ≥ 3/(x-2)]. Assim, teremos:

f(x) = - 2x - 5 ---> raízes: -2x-5 = 0 ---> - 2x = 5 --> 2x = - 5 --> x = - 5/2
g(x) = x²-x-2 ---> raízes: x²-x-2 = 0 ---> x' = -1; x'' = 2.

Finalmente, agora, vamos analisar a variação de sinais em função das raízes de cada uma das equações:

a) f(x) = - 2x - 5 .... + + + + + + + + (-5/2) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
b) g(x) = x²-x-2...... + + + + + + + + + + + + + + + + (-1)- - - - - - - - (2)+ + + + +
c) a/b.................... + + + + + + + + (-5/2) - - - - - - -(-1) + + + + + +(2)- - - - - - -

Como queremos que a divisão de f(x) por g(x) seja MAIOR ou IGUAL a zero, então só  nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS no item "c" acima, que nos fornece o resultado da divisão de f(x) por g(x).
Assim, os intervalos que nos dá o conjunto-solução da inequação originalmente dada será este:

x ≤ -5/2 , ou:  -1 < x < 2.

Aí você poderá perguntar: por que é que "x" pode ser MENOR ou IGUAL a "-5/2" e, no entanto, só pode ser apenas maior do que "-1" e apenas menor do que "2"?.
Resposta: porque você já viu antes que o "x" não poderá (NUNCA) assumir valores iguais a "-1" ou "2", pois "-1" e "2" são raízes da equação do denominador. Se fôssemos admitir que "x' pudesse também ser igual a "-1" ou igual a "2", estaríamos admitindo divisão por zero e isso não existe. Aliás, você já viu antes as condições de existência que fixamos logo no início, lembra, quando afirmamos que "x" deveria ser DIFERENTE de "-1" e de "2"?

Se você quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução da inequação da sua questão da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = {x ∈ R | x ≤ -5/2, ou: -1 < x < 2}.

Ou ainda, também se quiser, o conjunto-solução poderá ser apresentado do seguinte modo, o que dá no mesmo:

S = (-∞; -5/2] ∪ (-1; 2).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.