Question

Uma das superfícies de uma peça é determinada pela área entre as curvas y= (ln(x))³/3, y=1 e x= e². Determine o custo de pintura dessa superficie, onde x e dado em metros e o custo da pintura é dado em metros quadrado é igual a 15,00.

Answer 1

$\bmatrix y_a= \frac{ln^3(x)}{3} \\\\y_b=1\\\\x=e^2 \end$

encontrando o intervalo da area da superficie:
$y_a=y_b\\\\ \frac{ln^3(x)}{3} = 1\\\\ln^3(x)=3\\\\ln(x)= \sqrt[3]{3} \\\\x=e^{ \sqrt[3]{3} }$

o tamanho da area da superficie é:

$\boxed{\boxed{A=\int_{e^{ \sqrt[3]{3} }}^{e^2} \left( \frac{ln^3(x)}{3}\right )\;dx}}$

integrando por partes
$\int U \;dV = UV -\int V\; dU\\\\\\ \bmatrix U= \frac{ln^3(x)}{3}\\ dU = \frac{3ln^2(x)}{3}* \frac{1}{x} \;dx= \frac{ln^2(x)}{x}\;dx\\\\ dV=dx\\V=x\end$



$A= x* \frac{ln^3(x)}{3} - \int \frac{x* ln^2(x)}{x} \\\\ \boxed{\boxed{A= x* \frac{ln^3(x)}{3} - \int ln^2(x) \dx }}$

resolvendo por partes novamente a segunda integral que apareceu
$\bmatrix U=ln^2(x)\\dU=\frac{2ln(x){x}\\dV=dx \\V=x \end$



$A= x* \frac{ln^3(x)}{3} - \left(x*ln^2(x)- \int \frac{2ln(x)}{x}*x\;dx \right)\\\\ \boxed{A= x* \frac{ln^3(x)}{3} - x*ln^2(x)+2\int ln(x)} \\\\\text{integrando por partes novamente}\\\\A=x*\frac{ ln^3(x)}{3} - x*ln^2(x)+2\left(x*ln(x)-\int \frac{1}{x}*x\;dx \right)\\\\ \boxed{\boxed{A=x*\frac{ ln^3(x)}{3} - x*ln^2(x)+2x*ln(x) -2x}}$


$A=\int_{e^{ \sqrt[3]{3} }}^{e^2} \left( \frac{ln^3(x)}{3}\right )\;dx=\left x*\frac{ ln^3(x)}{3} - x*ln^2(x)+2x*ln(x) -2x\right | _{e^{ \sqrt[3]{3} }}^{e^2} \\\\A\approx 5,75 \; m^2$


para pintar cada m² custa 15$ 
a pintura vai custar 15*5,75 = 86,25$