Question

Dados os vetores u → = (–1, 0, 2), v → = (2, x, –1) e w → = (0, –1, –1), calcular o valor de x para que o volume do paralelepípedo determinado por u ,v e w seja 10 u.v.

Answer 1

Olá

Para calcular o volume do paralelepípedo, basta calcular o produto misto entre esses 3 vetores.
Para calcular o produto misto, basta montar uma matriz 3x3 com esses 3 vetores e calcular o determinante. O resultado em módulo, será o volume do paralelepípedo.
Como já temos o volume do paralelepipedo, e queremos encontrar o valor do 'x', então devemos montar a matriz 3x3 e igualar a 10...já que esse é o valor do volume do paralelepipedo (conforme dito no enunciado)


$\vec{u}=(-1,0,2)\\\vec{v}=(2,x,-1)\\\vec{w}=0,-1,-1\\\\\\\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}-1&0&2\\2&x&-1\\0&-1&-1\end{array}\right] ~=~10\\\\\\\mathsf{\underbrace{(\mathsf{x+0-4})}_{diag.~principal}~~-~\underbrace{(\mathsf{0-1+0})}_{diag.~secund\'aria}}=10\\\\\\\mathsf{|x-4+1|=10}\\\\\mathsf{|x-3|}=10$


Veja que temos uma equação modular, isso implica que teremos dois valores possíveis para 'x'.

Resolvendo a equação modular

Para valores de 'x' positivo

$\mathsf{|x-3|}=10\\\\\mathsf{x-3=10}\\\\\mathsf{x=10+3}\\\\\boxed{\mathsf{x=13}}$


Para valores de 'x' negativo

$\mathsf{-|x-3|}=10\\\\\mathsf{-x+3=10}\\\\\mathsf{-x=10-3}\\\\\mathsf{-x=7}\\\\\boxed{\mathsf{x=-7}}$


Resposta

$\boxed{\mathsf{x=-7}}\\\\~~~~~\text{ou}\\\\\boxed{\mathsf{x=13}}$