Question

FUVEST - P.A. (Segunda Fase)


As progressões aritméticas a1, a2... e b1, b2... têm razões respectivamente iguais a 3 e a 7.

a) Sabendo-se que a5 = b3, qual é o menor valor de r, superior a 5, para o qual existe s tal que ar = bs?

b) Se os elementos comuns a essas duas progressões forem colocados em ordem crescente, eles formarão uma P.A.. Calcule a razão dessa P.A..

Answer 1

Vamos responder o item "b" primeiro e depois o item "a"

b)
Os elemento comuns das PA respeitarão uma nova PA onde a razão será o MMC entre 3 e 7 (razões das PAs originais). Como o MMC de 3 e 7 é 21, temos que a razão da nova PA é 21.

a)
Os elementos das PAs se repetiram quando somarem 21 cada uma, para isso a primeira PA deve avançar 7 termos para sua soma dar 21 e a segunda PA deve avançar 3 termos para a sua soma resultar 21.

Como foi dito que a5 = b3, os próximos termos iguais serão
a(5+7) = b(3+3)
a12 = b6

avançamos 7 em a (de 5 para 12) e 3 em b (de 3 para 3).

Portanto o menor valor de r superior a 5 deve ser 12, assim termos s = 6.
ar = bs
a12 = b6