Question

Determine o valor da soma ,

$S \ = \ \frac{1}{2} \ + \ \frac{1}{2.3} \ + \ \frac{1}{3.4} \ + \ \frac{1}{4.5} \ + \ ... \ + \ \frac{1}{999.1000}$

Answer 1

Ola Ludeen.



Propriedades utilizadas

$\star~\boxed{\boxed{\mathsf{\Delta a_k= a_{k+1}-a_k}}}\\\\\\\star~\boxed{\boxed{\mathsf{\display\sum_{k=p}^n \Delta a_k=a_{n+1}-a_p}}}$

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Perceba que o denominador é produto de dois termos consecutivos. Em casos de termos consecutivos, geralmente é possível você separa-lo em diferença de dois termos consecutivos. Pela propriedade telescópica, você cancela vários termos intermediários sobrando somente o primeiro e último.

Vamos procurar separar essa fração com produto de denominadores consecutivos na diferença de dois termos consecutivos

Podemos representar cada termo da seguinte forma


$\mathsf{\dfrac{1}{n\cdot(n+1)}}$

Por causa daquele n no denominador, irei somar e subtrai-lo no numerador

$\mathsf{\dfrac{1+n-n}{n\cdot(n+1)}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{n+1-n}{n\cdot(n+1)}}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{n+1}{n\cdot(n+1)}-\dfrac{n}{n\cdot(n+1)}}$

Simplifique os termos semelhantes

$\mathsf{\dfrac{n+1}{n\cdot(n+1)}-\dfrac{n}{n\cdot(n+1)}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}}$

Temos aqui a diferença de dois termos consecutivos como queriamos

Portanto, substituindo n por alguns valores e expandindo a expressão, teríamos

$\mathsf{\Big[\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}\Big]+\Big[\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\Big]+\Big[\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\Big]+...+\Big[\dfrac{1}{998}-\dfrac{1}{999}\Big]+\Big[\dfrac{1}{999}-\dfrac{1}{1~000}\Big]}$

Perceba que vários termos iriam se cancelando, sobrando somente o primeiro e último termo

Portanto, temos

$\mathsf{1-\dfrac{1}{1~000}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{1~000}{1~000}-\dfrac{1}{1~000}}\\\\\\\boxed{\mathsf{\dfrac{999}{1~000}}}~~~\mathsf{ou}~~~~\boxed{\mathsf{0,999}}$


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