Question

Determine o conjunto solução

Answer 1

$a)9^x-2.3^{x-1}=7 \\ (3^2)^x-2.3^x.3^{-1}=7 \\ 3^{x2}-2.3^x. \frac{1}{3}=7 \\ 3^{x2}- \frac{2.3^x}{3}=7$

Consideremos:
$3^x=y$

$3^{x2}- \frac{2.3^x}{3}=7 \\ y^2- \frac{2y}{3}=7 \\ 3y^2-2y=21 \\ 3y^2-2y-21=0 \\ Delta=256 \\ y'=3 \\ y''= \frac{-14}{6}$

Usando y'', a condição x ∈ IR não é satisfeita, logo utilizamos y':
$3^x=y \\ 3^x=3 \\ 3^x=3^1 \\ x=1$

S={x=1}


$b)3.5^{2x-1}-2.5^{x-1}=5^{-1} \\ 3.5^{2x}.5^{-1}-2.5^x.5^{-1}=5^{-1} \\ 3.5^{2x}. \frac{1}{5} -2.5^x. \frac{1}{5} = \frac{1}{5} \\ \\ \frac{3.5^{2x}}{5}- \frac{2.5^x}{5}= \frac{1}{5} \\ \\3.5^{2x}-2.5^x=1$

consideremos:
$3^{x} =y$

$3.5^{2x}-2.5^x=1 \\ 3y^2-2y=1 \\ 3y^2-2y-1=0 \\ Delta=16 \\ y'=1 \\ y''= \frac{-1}{3}$

Com y'' a condição x ∈ IR não é satisfeita, sendo assim utilizamos y':
$3^x=y \\ 3^x=1 \\ 3^x= \frac{3}{3} \\\\ 3^x= \frac{3^1}{3^1} \\ \\ 3^x=3^{1-1} \\ 3^x=3^0\\x=0$

S={0}


$c)25^x=6.5^x-5 \\ (5^2)^x=6.5^x-5 \\ 5^{x2}=6.5^x-5$

Consideremos:
$5^x=y$

$5^{x2}=6.5^x-5 \\ y^2=6y-5 \\ y^2-6y+5=0 \\ Delta=16 \\ y'=5 \\ y''=1$

Para y'=5, temos:
$5^x=y \\ 5^x=5 \\ 5^x=5^1 \\ x=1$

Para y''=1, temos:
$5^x=y \\ 5^x=1 \\ 5^x=5^0 \\ x=0$

S={x=1 ou x=0}



Renato.