Question

Para uma aula de Geometria Espacial, o professor Paulo decidiu levar uma pirâmide quadrangular regular de papelão. Para diferenciar suas faces, resolveu pintá-las cada uma com uma cor diferente. Para isso, ele dispunha de 6 cores distintas. O número de maneiras como Paulo pode pintar esse sólido é igual a:

a) 30
b) 60
c) 90
d) 120
e) 180

Answer 1

Olá ! 

Note que essa pirâmide tem 5 lados ... 

1 da base e 4 lados laterais ... 

E temos 6 cores ... 

Podemos fazer arranjo de 6 tomados 5 a 5 ... 

A 6,5 

6!/(6-5)! 

6!/1! 

6.5.4.3.2.1!/1! 

6.5.4.3.2 

30 . 24 = 720 maneiras. 

Favor conferir o gabarito.                                         ok 

Answer 2

Resposta:

180

Explicação passo-a-passo:

O gabarito está correto. Na verdade restou você dividir por 4 a sua resposta final.

Trata-se de uma permutação circular visto que você se você girar a pirâmide, as posições relativas serão as mesmas, no entanto ao calcular o arranjo você as conta duas vezes.

Imagine que pintamos as quatro faces da pirâmida (esquecemos a base) de vermelho, verde, branco e azul em sequência. Se eu pegar essa pirâmide com minha mão e girar ela 180º, continuará sendo a mesma pirâmide, porém ao contrário. As cores estarão com a mesma sequência. Ao calcular simplesmente um arranjo, você contabiliza essa inversão como outra possibilidade e está errado.

Dessa forma, devemos dividir por 4 o resultado final, que é o número de faces a serem permutadas, evitando assim que contemos pirâmides iguais respeitando a permutação circular.

Número de opções de cores da base: 6

Então:

$6 . C_{5,4} . PC_{4} = 6.\frac{5!}{1! 4!} .\frac{4!}{4}= 6 . 5 . 3 . 2 . 1 = 180$

Abraços