Question

A abscissa de um ponto P é -6 e sua distância ao ponto Q (1,3) é
$\sqrt{74}$
Determine a ordenadas do ponto P

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Basta usar a fórmula para a distância entre dois pontos. É importante destacar que o "abscissa" refere-se ao valor de x, na forma "P(x, y)".

$\mathtt{d=\sqrt{\left(x_Q-x_P\right)^2+\left(y_Q-y_P\right)^2}}\\\\ \mathtt{\sqrt{74}=\sqrt{\left(1-(-6)\right)^2+\left(3-y_P\right)^2}}\\\\ \mathtt{\sqrt{74}=\sqrt{\left(1+6\right)^2+\left(3^2-2\times3\times y_P+y_P^2\right)}}\\\\ \mathtt{\sqrt{74}=\sqrt{\left(7\right)^2+\left(9-6y_P+y_P^2\right)}}\\\\ \mathtt{\sqrt{74}=\sqrt{49+9-6y_P+y_P^2}}\\\\ \mathtt{\sqrt{74}=\sqrt{58-6y_P+y_P^2}}$

Como todas as partes estão dentro de uma raiz podemos cancelar, focando apenas no conteúdo interno.

$\mathtt{74=58-6y_P+y_P^2}\\\\ \mathtt{74-58=-6y_P+y_P^2}\\\\ \mathtt{-6y_P+y_P^2-16=0}$

O resultado foi uma equação de segundo grau, Para resolve-la podemos usar Bhaskara ou fatoração. Optarei pelo segundo caso em um primeiro momento. Após a "prova real" apresento a resolução com Bhaskara.

$\mathtt{-6y_P+y_P^2-16=0}\\\\ \mathtt{y_P^2-6y_P-16=0}\\\\ \mathtt{y_P^2-6y_P+\left(-2y_P+2y_P\right)-16=0}\\\\ \mathtt{y_P^2+2y_P-8y_P-16=0}\\\\ \mathtt{y_P\left(y_P+2\right)-8\left(y_P+2\right)=0}\\\\ \mathtt{\left(y_P+2\right)\left(y_P-8\right)=0}$

Assim, temos:

$\begin{cases} \mathtt{\left(y_P+2\right)=0}&\mathtt{y_P=-2}\\ \mathtt{\left(y_P-8\right)=0}&\mathtt{y_P=+8} \end{cases}$

Como isso temos que as ordenados podem ser 8 e -2. Assim:

P(-6, -2) ou P(-6, 8).

• Prova real.

Substituindo na fórmula da distância podemos descobrir a validade dos números encontrados. Usarei a segunda linha do primeiros cálculo. Veja:

   Para y = 8.

$\mathtt{\sqrt{74}=\sqrt{\left(1-(-6)\right)^2+\left(3-y_P\right)^2}}\\\\ \mathtt{\sqrt{74}=\sqrt{\left(1+6\right)^2+\left(3-8\right)^2}}\\\\ \mathtt{\sqrt{74}=\sqrt{\left(7\right)^2+\left(-5\right)^2}}\\\\ \mathtt{\sqrt{74}=\sqrt{49+25}}\\\\ \mathtt{\sqrt{74}=\sqrt{74}~\checkmark}$

   Para y = -2.

$\mathtt{\sqrt{74}=\sqrt{\left(1-(-6)\right)^2+\left(3-y_P\right)^2}}\\\\ \mathtt{\sqrt{74}=\sqrt{\left(1+6\right)^2+\left(3-(-2)\right)^2}}\\\\ \mathtt{\sqrt{74}=\sqrt{\left(7\right)^2+\left(3+2\right)^2}}\\\\ \mathtt{\sqrt{74}=\sqrt{49+5^2}}\\\\ \mathtt{\sqrt{74}=\sqrt{49+25}}\\\\ \mathtt{\sqrt{74}=\sqrt{74}~\checkmark}$

• Usando Bhaskara para encontrar as variáveis.

$\mathtt{-6y_P+y_P^2-16=0}\\\\ \mathtt{y_P^2-6y_P-16=0}$

Pense que no lugar de "ordenada de y" (yp) deve ficar um x. Veja:

$\mathtt{y_P^2-6y_P-16=0\longrightarrow x^2-6x-16=0}$

Desenvolvendo a fórmula:

$\mathtt{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4\times1\times(-16)}}{2\times1}}\\\\\\ \mathtt{x=\dfrac{6\pm\sqrt{36-(-64)}}{2}=\dfrac{6\pm\sqrt{100}}{2}=\dfrac{6\pm10}{2}=3\pm5}\\\\\\ \mathtt{x_1=3+5=8~~\therefore~~x_2=3-5=-2}$

São os mesmos resultados de antes.

Answer 2

Olá!

De acordo com o enunciado acima podemos notar que:

• Temos o valor da abcissa de um ponto P, porém não temos o valor da ordenada, matematicamente:
$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \mathtt{P(-6 , y)}$

• A distância entre os pontos $\mathtt{P(-6,y)}$ e $\mathtt{Q(1,3)}$ será definida por:

$\mathtt{d_{(P,Q)}^2 = (y_Q - y_P)^2 + (x_Q - y_P)^2}$

Onde:
• No ponto P, temos:
$\\ \mathtt{P(-6 , y)} \begin{cases} \mathtt{x_P = - 6} \\ \mathtt{y_P = y} \end{cases}$

• No ponto Q, temos:
$\\ \mathtt{Q(1,3)} \begin{cases} \mathtt{x_Q = 1} \\ \mathtt{y_Q = 3} \end{cases}$

• Temos também que:
$\mathtt{d_{(P,Q)} = \sqrt{74}}$

Logo, teremos:

$\Leftrightarrow \mathtt{\big(\sqrt{74} \big)^2 = (3 - y)^2 + (1 + 6)^2} \\ \Leftrightarrow \mathtt{74 = 9 -6y + y^2 + 49} \\ \Leftrightarrow \mathtt{74 - 58 = -6y + y^2} \\ \Leftrightarrow \mathtt{y^2 -6y -16 = 0}$

• Os coeficientes são:
$\begin{cases} \mathtt{a = 1} \\ \mathtt{b = -6} \\ \mathtt{c = -16} \end{cases} \\ \\ \mathtt{\Delta = b^2 - 4ac} \\ \Leftrightarrow \mathtt{\Delta = (-6)^2 - 4.1.(-16)} \\ \Leftrightarrow \mathtt{\Delta = 36 + 64} \\ \Leftrightarrow \mathtt{\Delta = 100} \\ \\ \mathtt{y = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta} }{2a}} \\ \\ \Leftrightarrow \mathtt{y = \frac{-(-6) \pm \sqrt{100} }{2.1}} \\ \begin{cases} \mathtt{y_1 = \dfrac{6+10}{-2}} \\ \mathtt{y_2 = \dfrac{6 -10}{2}} \end{cases} \\ \Leftrightarrow \\ \begin{cases} \mathtt{y_1 = \dfrac{16}{2}} \\ \mathtt{y_2 = \dfrac{-4}{2}} \end{cases} \\ \Leftrightarrow \\ \begin{cases} \mathtt{y_1 = 8} \\ \mathtt{y_2 = - 2} \end{cases}$

A as ordenadas do ponto P, são:
$\mathtt{y \in \{-2 ; 8\}}$

Portanto, os pontos serão:

$\boxed{\boxed{\mathtt{P(-6; -2)}} }} \end{array}\qquad\checkmark$
$\: \: \: \: \: \: \: \textbf{Ou}$
$\boxed{\boxed{\mathtt{P(-6; 8)}} }} \end{array}\qquad\checkmark$

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::::::::::::::::::::Bons estudos::::::::::::::::::
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