Question

Calcule a área e esboce o gráfico da região limitado por y= x+2 e y= x^2

Answer 1

Pelo gráfico podemos ver que a área está limitada por x = -1 e x = 2, então o valor da área pode ser calculada pela área de y = x + 2 menos a área de y = x^2, ou seja:

$\displaystyle\int_{-1}^{2}x + 2 dx - \displaystyle\int_{-1}^{2} {x}^{2} dx = \displaystyle\int_{-1}^{2}x + 2 - {x}^{2} dx \\ = \begin{bmatrix} - \dfrac{ {x}^{3} }{3} + \dfrac{ {x}^{2} }{2} + 2x\end{bmatrix}_{-1}^{2} \\ = \begin{pmatrix} - \dfrac{ {2}^{3} }{3} + \dfrac{ {2}^{2} }{2} + 2 \cdot2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} - \dfrac{ {( - 1)}^{3} }{3} + \dfrac{ {( - 1)}^{2} }{2} + 2 \cdot( - 1) \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} - \dfrac{ 8}{3} + \dfrac{ {4} }{2} + 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \dfrac{ 1}{3} + \dfrac{ 1 }{2} - 2 \end{pmatrix} \\ = \dfrac{10}{3} - \dfrac{ - 7}{6} = \dfrac{10}{3} + \dfrac{ 7}{6} = \dfrac{9}{2}$

Portanto, a área entre as funções vale 9/2