Question

1. Seja ABC um triângulo equilátero de lado 2 cm em que o é o ponto de encontro
das alturas. Quanto mede o segmento AO?​

Answer 1

Triângulo equilátero

A Altura de triângulo equilátero é também mediana e bissetriz, ou seja, ela dividi o ângulo ao meio e no lado onde ela faz a perpendicular tbm é partido ao meio.

Ao traçarmos as alturas ela dividirá os lados ao meio, ou seja, 1 cm para cada lado, E  os segmentos que partem dos vértices até o ponto de encontro O serão iguais, já que o triângulo é equilátero.

Fazendo isso, vemos um triângulo Retângulo de ângulos 30º, 60º e 90º, cujo um dos catetos mede 1 cm e a hipotenusa AO. Então basta usarmos a relação de seno e cosseno para acharmos AO.

Então :

$\fbox{\displaystyle Cos(30^{\circ})= \frac{1}{AO} \to \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{A0} \to AO = \frac{2}{\sqrt{3}} }$

Racionalizando :

$\fbox{\displaystyle AO = \frac{2}{\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \to AO = \frac{2\sqrt{3}}{3} }$

(imagem para melhor compreensão)

no 1º triângulo tracei a altura para mostrar como divide os lados e o ângulo

no 2º triângulo mostro por congruência que dos vértices ao ponto de encontro são iguais.

no 3º triângulo mostro qual triângulo usaremos.