Question

Bom dia vcs podem me ajudar???​

Answer 1

Temos os seguintes focos:

$F_1(2,0) \: e \: F_2(-2,0)$

A questão quer saber a equação da elipse a partir desses focos e também de que a medida do seu eixo menor é igual a 6.

• Primeiramente vamos encontrar a medida de fato do eixo menor, pois esse 6 quer dizer a distância total. Para isso basta lembrar que a distância é 2b, por exemplo:

$2b = 6 \longrightarrow b = \frac{6}{2} \longrightarrow b = 3$

Sabendo do valor do foco e de um dos eixos, podemos através da relação de pitágoras, encontrar a outra medida. (Lembre-se que o valor do foco é 2 e corresponde a medida c).

$a {}^{2} = b {}^{2} + c {}^{2} \\ a {}^{2} = 3 {}^{2} + 2 {}^{2} \\ a {}^{2} = 9 + 4 \: \: \: \\ a = \sqrt{13} \: \: \: \: \: \:$

Como a raiz de √13 é maior que 2 e 3, a hipérbole possui então o formato em que seu maior eixo está sobre x, então:

$\frac{x {}^{2} }{a {}^{2} } + \frac{y {}^{2} }{b {}^{2} } = 1 \longrightarrow \frac{x {}^{2} }{( \sqrt{13} ) {}^{2} } + \frac{y {}^{2} }{3 {}^{2} } = 1 \\ \\ \frac{x {}^{2} }{13} + \frac{y {}^{2} }{9} = 1 \longrightarrow \boxed{9x {}^{2} + 13y {}^{2} = 117}$

• Resposta: Letra c)

Essa é a reposta da questão 1).

Vamos agora a questão 2, que é mais fácil ainda. Primeiro vamos colocar a hipérbole em sua forma reduzida, ou seja, passar o 225 para o segundo membro e depois dividir toda a equação por ele:

$9x {}^{2} - 25y {}^{2} - 225 = 0 \\ \\ 9x {}^{2} - 25y {}^{2} = 225 \\ \\ \frac{9x {}^{2} }{225} - \frac{25y {}^{2} }{225} = \frac{225}{225} \\ \\ \frac{x {}^{2} }{25} - \frac{y {}^{2} }{9} = 1$

Como essa hipérbole possui o maior valor abaixo de x², quer dizer então que o eixo real da mesma está sobre o eixo "x", logo ela possui o seguinte formato de equação:

$\frac{x {}^{2} }{a {}^{2} } - \frac{y {}^{2} }{b {}^{2} } = 1$

Estabelecendo igualdade entre os termos a e b:

$a {}^{2} = 25 \longrightarrow a = \sqrt{25} \longrightarrow a = 5 \\ b {}^{2} = 9\longrightarrow b = \sqrt{9} \longrightarrow b = 3 \: \: \: \: \:$

Para achar o foco (c), basta estabeler a relação de Pitágoras, só que na hipérbole ele é de uma forma um pouco diferente:

$c {}^{2} = a {}^{2} + b {}^{2} \longrightarrow c { }^{2} = 5 {}^{2} + 3 {}^{2} \\ c {}^{2} = 25 + 9 \longrightarrow c {}^{2} = 34 \\ c = \sqrt{34}$

A raiz de 34 é a aproximadamente 5,83.

• Resposta: Letra d)

Espero ter ajudado