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Dados dois vetores e o produto escalar entre estes dois vetores é
Então,
onde é o ângulo entre os dois vetores.
Encontrando o produto escalar entre e temos
Encontrando os módulos dos vetores e temos
Para substituindo os valores dos módulos encontrados, temos
Da última linha acima, tiramos a restrição de que
pois o lado direito está igualado à raiz quadrada de um número real, que não pode ser negativa.
Voltando à equação na incógnita temos
Elevando os dois lados ao quadrado, temos
Para facilitar a fatoração do lado esquerdo, reescrevemos o termo como
Então,
onde é o ângulo entre os dois vetores.
Encontrando o produto escalar entre e temos
Encontrando os módulos dos vetores e temos
Para substituindo os valores dos módulos encontrados, temos
Da última linha acima, tiramos a restrição de que
pois o lado direito está igualado à raiz quadrada de um número real, que não pode ser negativa.
Voltando à equação na incógnita temos
Elevando os dois lados ao quadrado, temos
Para facilitar a fatoração do lado esquerdo, reescrevemos o termo como
Lukyo:
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