Question

Equações irracionais

A) √x + 3* = 1

B) √19 - 2x* = x + 8

C) √3x² - 20x + 16* = x - 4

D) x + √x* = 2

E) √x + 1* - x + 1 = 0

F) x + √10x + 6* = 9


OBS: Os ponto asterisco são marcação do final raiz quadrada da equação

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Nicollas, que quando se trabalha com equações irracionais, após você encontrar as raízes, deverá, primeiro, verificar se as raízes encontradas satisfazem à expressão originalmente dada.
Bem, visto isso, então vamos tentar fazer apenas umas duas das suas expressões (as mais difíceis), pois as demais seguirão método idêntico para resolução.
Note: primeiro você procura deixar isolado o radical, passando para o outro  membro o que não esteja dentro de radicais.

Veja que as questões dos itens "a", "b", "c" e "f", por terem apenas um radical no 1º membro, então é só você eliminar o radical. E, para isso, basta que você eleve ao quadrado ambos os membros, pois cada radical dessas questões são raízes quadradas.
Após encontrar as raízes de cada uma delas, você deverá, antes de eleger qual a resposta, verificar se as raízes encontradas satisfazem às igualdades das expressões originalmente dadas.

Nesse caso, vamos resolver apenas as questões dos itens "d" e "e", que têm, no primeiro membro, outros fatores além do radical.
Assim, teremos:


d)  x + √(x) = 2 ------ passando "x" para o 2º membro, teremos:

√(x) = 2 - x ---- agora, para eliminar o radical, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, ficando assim:

[√(x)]² = (2-x)² ----- desenvolvendo, ficaremos com:
x = 4 - 4x + x² -----  vamos passar "x" para o 2º membro, ficando:
4 - 4x + x²- x = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes e ordenando, teremos:

x² - 5x + 4 = 0 ------ aplicando Bháskara, encontraremos as seguintes raízes:

x' = 1
x'' = 4.

Agora vamos na expressão e substituiremos "x" por "1" e por "4" e veremos se a igualdade originalmente dada é verificada. Assim, teremos:

d.i) Para x = 1, na expressão: x + √(x) = 2, teremos:

1 + √(1) = 2 ----- como √(1) = 1, temos:
1 + 1 = 2
2 = 2 <---- Perfeito. Então a raiz "1" é válida, pois satisfez à igualdade original.

d.ii) Para x = 4, na expressão: x + √(x) = 2, teremos:

4 + √(4) = 2 ---- como √(4) = 2, temos:
4 + 2 = 2
6 = 2 <--- Absurdo. Logo, a raiz "4" NÃO é válida, pois não satisfez à expressão originalmente dada.

Logo, para o item "d", temos que a única resposta será:

x = 1 <--- Esta é a resposta para a questão do item "d".


e) √(x+1) - x + 1 = 0 ----- vamos passar "-x+1" para o 2º membro, ficando:

√(x+1) = x - 1 ---- para eliminar o radical, elevaremos ambos os membros ao quadrado, ficando:

[√(x+1)]² = (x-1)² ------ desenvolvendo, teremos:
x + 1 = x²-2x+1 ----- passando todo o 1º membro para o 2º, ficaremos com:

x² - 2x + 1 - x - 1 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:

x²- 3x = 0 ----- pondo "x" em evidência, temos:
x*(x-3) = 0 ---- Note que aqui temos o produto entre dois fatores, cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo.
Assim, teremos as seguintes possibilidades:

ou
x = 0 ----> x' = 0
ou
x-3 = 0 ---> x'' = 3

Agora vamos verificar se as duas raízes satisfazem à igualdade original.
Assim, teremos:

e.i) Para x = 0, na expressão: √(x+1) - x + 1 = 0, teremos:

√(0+1) - 0 + 1 = 0
√(1) + 1 = 0 ------- como √(1) = 1, teremos:
1 + 1 = 0
2 = 0 <---- Absurdo. Logo, a raiz igual a "1"  NÃO satisfaz à expressão original.

e.ii) Para x = 3, na expressão: √(x+1) - x + 1 = 0, teremos:

√(3+1) - 3 + 1 = 0
√(4) - 2 = 0 ----- como √(4) = 2, teremos:
2 - 2 = 0
0 = 0 <----- Perfeito. Logo, a raiz "3" satisfez à igualdade originalmente dada.

Assim, a única resposta da expressão "e" será:

x = 3 <---- Esta é a resposta para a questão do item "e".


Como dissemos antes, as expressões "a", "b", "c" e "f", por terem apenas um radical no 1º membro, não terá nenhum problema pra você resolver sozinho e, com certeza, o fará corretamente. 


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.