Question

Calcule os valores de a e b no polinômio:
a) p(x) = x^3 + (a - 2)x^2 + (b - 4)x - 3, sabendo que 1 e - 1 são raízes do polinômio.
b)p(x) = x^3 + ax^2 + (b - 18)x + 1, sabendo que 1 é raíz do polinômio e p(2) = 25.

Answer 1

a) P(1) = 1^3 + (a - 2)1^2 + (b - 4)1 - 3 = 1 + (a - 2) + (b - 4) - 3 = 0
    P(1) = a + b - 8 = 0
    a + b = 8
    P(-1) = (-1)^3 + (a - 2)(-1)^2 + (b - 4)(-1) - 3 = -1 + (a - 2) - (b - 4) - 3 = 0
    P(-1) = a - b - 2 = 0
    a - b = 2

Resolvendo o sistema temos: a = 5, b = 3

b) Se faz de maneria análoga.
 P(1) = 0, P(2) = 25
    

Answer 2

Os valores de a e b nos polinômios p(x) = x³ + (a - 2)x² + (b - 4)x - 3 e p(x) = x³ + ax² + (b - 18)x + 1 são, respectivamente, a = 5 e b = 3, a = 10 e b = 6.

a) Se 1 e -1 são raízes do polinômio p(x) = x³ + (a - 2)x² + (b - 4)x - 3, então p(1) = 0 e p(-1) = 0.

Sendo assim, temos que:

1³ + (a - 2).1² + (b - 4).1 - 3 = 0

1 + a - 2 + b - 4 - 3 = 0

a + b - 8 = 0

a + b = 8.

Da mesma forma:

(-1)³ + (a - 2).(-1)² + (b - 4).(-1) - 3 = 0

-1 + (a - 2).1 - b + 4 - 3 = 0

-1 + a - 2 - b + 4 - 3 = 0

a - b - 2 = 0

a - b = 2.

Com as duas equações encontradas, podemos montar o seguinte sistema linear:

{a + b = 8

{a - b = 2

Somando as duas equações:

2a = 10

a = 5.

Logo, o valor de b é:

5 + b = 2

b = 5 - 2

b = 3.

b) Como 1 é raiz do polinômio p(x) = x³ + ax² + (b - 18)x + 1, então:

1³ + a.1² + (b - 18).1 + 1 = 0

1 + a + b - 18 + 1 = 0

a + b - 16 = 0

a + b = 16.

Além disso, temos a informação de que p(2) = 25. Logo:

2³ + a.2² + (b - 18).2 + 1 = 25

8 + 4a + 2b - 36 + 1 = 25

4a + 2b - 27 = 25

4a + 2b = 52

2a + b = 26.

Com as duas equações obtidas, temos o seguinte sistema linear:

{a + b = 16

{2a + b = 26.

Da primeira equação, podemos dizer que b = 16 - a. Substituindo o valor de b na segunda equação:

2a + 16 - a = 26

a = 10.

Logo, o valor de b é:

b = 16 - 10

b = 6.

Para mais informações sobre polinômio: https://brainly.com.br/tarefa/19935042