Question

Encontrar a solução geral da equação:
dy/dx - 2y/x = 3xy²

Resposta: y = 4x^2/(k - 3x^4)

Answer 1

Es una ecuación diferencial de Bernoulli
para ello hagamos elo siguiente cambio de variable
 
                          $z=y^{1-2}\to y=z^{-1}\to dy =-z^{-2}dz$

entonces tenemos
            $-\dfrac{z^{-2}dz}{dx}-\dfrac{2z^{-1}}{x}=3xz^{-2}\\ \\ \dfrac{dz}{dx}+\dfrac{2z}{x}=-3x$

busquemos el factor integrante FI

      $\displaystyle FI=\exp \int \dfrac{2}{x}dx\\ \\ FI=\exp (2\ln x}\\ \\ FI=x^2$

Por ende debemos resolver:

         $x^2\dfrac{dz}{dx}+2xz=-3x^3\\ \\ (x^2z)'=-3x^3\\ \\ x^2z=-\dfrac{3x^4}{4}+C_1\\ \\ z=\dfrac{4C_1-3x^4}{4x^2}\\ \\ y=z^{-1}\\ \\ y=\dfrac{4x^2}{4C_1-3x^4}\\ \\\\ \boxed{y=\dfrac{4x^2}{K-3x^4}}$