Question

Um projétil é lançado do nível do chão com uma rapidez inicial de 53 m/s. Encontre o ângulo de lançamento (o ângulo que o vetor velocidade inicial forma acima da horizontal) de forma que a altura máxima do projétil seja
igual ao seu alcance horizontal. (Ignore a resistência do ar)

Answer 1

O ângulo deve ser de 75,96° para que a altura máxima seja igual alcance horizontal máximo.

Lançamento oblíquo

Um lançamento oblíquo, na física, é dado quando um corpo é arremessado com determinado ângulo a partir do solo.

Neste lançamento, temos dois tipos de movimento:

• Vertical: No movimento vertical, há aceleração da gravidade, portanto, tem-se um movimento uniformemente variado, dado pela equação:
  
  $\boxed{y=y_0+v_{0y}t+\frac{at^2}{2}}$
  
  E para a velocidade em função do tempo, tem-se:
  
  $\boxed{v_y=v_{0y}+at}$
  
• Horizontal: No movimento horizontal, não há aceleração, então, haverá um movimento uniforme, dado pela equação:
  
  $\boxed{x=x_0+v_xt}$
  

Para o movimento vertical, temos que, quando o projétil atingir a altura máxima, sua velocidade vy será zero, então:

$0=v_{0y}-gt$

O sinal negativo é dado por conta de o movimento ser contrário à gravidade

$v_{0y}=gt\\\\t=\frac{v_{0y}}{g}$

Que é o tempo para que o projétil atinja a altura máxima.

O problema diz que a altura máxima deve ser igual ao alcance horizontal, então, para calcular a altura máxima, basta substituir o tempo que o projétil leva para atingi-la na primeira equação.

$y=y_0+v_{0y}t-\frac{gt^2}{2}$

Com y0=0, e y sendo a altura máxima h, temos:

$h=v_{0y}(\frac{v_{0y}}{g})-\frac{g(\frac{v_{0y}}{g})^2}{2}\\\\h=\frac{v_{0y}^2}{g}-\frac{v_{0y}^2}{2g}\\\\h=\frac{v_{0y}^2}{2g}$

Que é a altura máxima atingida pelo projétil.

O alcance horizontal máximo é dado por:

$x=x_0+v_xt$

O tempo para o projétil subir até seu ponto máximo é igual ao tempo que ele demora para cair até o chão, portanto:

$t=\frac{2v_{0y}}{g}$

Aplicando na equação, tem-se

$x=v_x(\frac{2v_{0y}}{g})$

Agora, como a altura máxima deve ser igual ao alcance horizontal máximo, temos:

$h=x\\\\\frac{v_{0y}^2}{2g}=v_x(\frac{2v_{0y}}{g})$

Simplificando, tem-se

$\frac{v_{0y}}{2}=2v_x\\\\v_{0y}=4v_x\\\\\frac{v_{0y}}{v_x}=4$

Para descobrir o ângulo entre vx e v0y, basta ilustrar as velocidades iniciais (em anexo) e decompô-las, desta forma, calculando sua tangente.

$tg(\theta)=\frac{v_{0y}}{v_x}$

Agora, aplicando o arco-tangente em ambos os lados:

$\theta =tg^{-1}(\frac{v_{0y}}{v_x})\\\\\theta=tg^{-1}(4)\\\\\boxed{ \theta=75,96 \°}$

Que é o ângulo para que a altura máxima seja igual ao alcance horizontal máximo

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#SPJ4