Question

Conduzir, pela origem, uma reta que forma um ângulo α = arctg 2 com a reta (r) de equação x+2y-6=0.

Answer 1

Olá, Lucas.

Vamos reescrever a equação da reta r de tal forma que possamos enxergar seu coeficiente angular $m_r$:

x + 2y - 6 = 0 ⇒ 2y = - x + 6 ⇒ y = $-\frac12$·x + 3 ⇒ $m_r=-\frac12$

O ângulo α entre a reta r e a reta procurada, que chamaremos de s, é dado pela seguinte expressão:

$\tan \alpha =\left|\frac{m_r-m_s}{1+m_r\cdot m_s}\right|\Rightarrow\tan (\arctan 2)=\left|\frac{-\frac12-m_s}{1-\frac12\cdot m_s}\right|\Rightarrow\\\\ 2=\left|\frac{\frac{-1-2m_s}2}{\frac{2-m_s}2}\right|\Rightarrow2=\left|\frac{-1-2m_s}2\cdot\frac2{2-m_s}\right|\Rightarrow2=\left|\frac{-(1+2m_s)}{2-m_s}\right|\Rightarrow\\\\2=\left|-\frac{1+2m_s}{2-m_s}\right|\Rightarrow2=\frac{1+2m_s}{2-m_s}\Rightarrow4-2m_s=1+2m_s\Rightarrow\\\\-4m_s=-3\Rightarrow m_s=\frac34$

Obtivemos, acima, o coeficiente angular da reta procurada s.
A equação da reta s é dada por: y = $m_s$·x + p = $\frac34$·x + p.
Como a reta s passa pela origem (0,0), temos: 0 = 0 + p ⇒ p = 0.
A equação da reta s é, portanto:

$\boxed{y=\frac34x}$